panda大学習帳外伝

よく眠ったが故の寝足りなさ。

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(x^2-1)^nを繰り返し微分してみた。

はじめに

何を言っているのかわからないと思いますが、さっそく微分していきます。

なお、タイトルに普通に「$l$回」と書くと数字の1と区別がつきにくいので、タイトルは後付けで変更しています。

とりあえず、1,2回微分してみる。

\begin{align} (x^2-1)^n &= \sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} n \cr k \end{pmatrix} (-1)^{n-k}x^{2k}\label{xsquareminusone} \end{align} と展開できますので、とりあえず1,2回微分してみます。

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(\ref{xsquareminusone})式の右辺は項別に微分できますので… \begin{align} \frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] &= \sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} n \cr k \end{pmatrix} (-1)^{n-k}2k\cdot x^{2k-1} \label{xsquareminusonefirst} \cr \frac{d^2}{dx^2}\left[(x^2-1)^n\right] &= \sum_{k=1}^{n}\begin{pmatrix} n \cr k \end{pmatrix} (-1)^{n-k}2k\cdot (2k-1) \cdot x^{2k-2} \label{xsquareminusonesecond} \end{align} となります。

それで、$l$回微分するとどうなるの?

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こうなりそうです。 \begin{align} \frac{d^l}{dx^l}\left[(x^2-1)^n\right] &= \sum_{k=\left\lceil\frac{l}{2}\right\rceil}^{n}\begin{pmatrix} n \cr k \end{pmatrix} (-1)^{n-k}x^{2k-l}\prod_{p=2k-l+1}^{2k}p \label{xsquareminusonelth} \end{align}

どういう性質があるの?

(\ref{xsquareminusonelth})式は残念ながらこれ以上は簡単な形になりそうにないのですが、以下のような性質があります。

  1. $l$が奇数の場合は奇数次の項しか存在しないので、奇関数になること。
  2. $l$が偶数の場合には偶数次の項しか存在しないので、偶関数になること。

ということで、区間$[-a.a], a \in \mathbb{R}$における積分計算の結果が0になるか否かの判別に使えそうな気がします。

まとめ

ルジャンドルの多項式や陪多項式の計算の際に$(x^2-1)$や$(1-x^2)$が頻繁に登場する上に、その$l$回微分の性質を使うことがあるので、簡単に調べてみました。

この記事は以上です。

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