panda大学習帳外伝

勝利の方程式の解き方。

$\sin\dfrac{\pi}{5}$及び$\cos\dfrac{\pi}{5}$を計算してみた。

はじめに

ちょいと野暮用で必要になりそうなので、$\sin\dfrac{\pi}{5}$及び$\cos\dfrac{\pi}{5}$の値を計算してみました。

まずはcosから。

$\cos\dfrac{\pi}{5} = t$とおくと、cosの2倍角及び3倍角の公式より、 \begin{align} \cos\dfrac{2}{5}\pi &= 2t^2-1 \label{eq:cosdouble} \cr \cos\dfrac{3}{5}\pi &= 4t^3-3t \label{eq:costriple} \end{align} となります。

ここで、 \begin{align} \cos\dfrac{3}{5}\pi &= -\cos\left(\pi-\dfrac{3}{5}\pi\right) \nonumber \cr &= -\cos\dfrac{2}{5}\pi \label{eq:doubletriple} \end{align} であることから、(\ref{eq:cosdouble})式及び(\ref{eq:costriple})式を用いると(\ref{eq:cosequation})式のように計算できます。 \begin{align} 4t^3+2t^2-3t-1 &= 0 \label{eq:cosequation} \end{align} (\ref{eq:cosequation})式は$t=-1$を解の1つとして持ちますが、$0 \lt \cos\dfrac{\pi}{5} \lt 1$ですので、両辺を$t+1$で割ることができて、 \begin{align} 4t^2-2t-1 &= 0 \label{eq:cosequationsecond} \end{align} となります。

(\ref{eq:cosequationsecond})式を解き、$t \gt 0$の解を求めると、 \begin{align} t &= \frac{1+\sqrt{5}}{4} \end{align} となります。$\blacksquare$

ちょっと検算。

(\ref{eq:doubletriple})式が成り立つことを確認してみます。

\begin{align} \cos\dfrac{2}{5}\pi &= 2t^2-1 \nonumber \cr &= 2\cdot\frac{6+2\sqrt{5}}{16}-1 \nonumber \cr &= \frac{3+\sqrt{5}}{4}-1 \nonumber \cr &= \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cr \cos\dfrac{3}{5}\pi &= t(4t^2-3) \nonumber \cr &= t\left(4\cdot\frac{6+2\sqrt{5}}{16}-3\right) \nonumber \cr &= \frac{\sqrt{5}+1}{4}\,\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-3\right) \nonumber \cr &= \frac{\sqrt{5}+1}{4}\,\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \nonumber \cr &= \frac{2-2\sqrt{5}}{8} \nonumber \cr &= \frac{1-\sqrt{5}}{4} \nonumber \cr &= -\cos\dfrac{2}{5} \end{align} になります。

(\ref{eq:doubletriple})式が成り立ちそうです。🐼

次にsinを求めます。

$\sin\dfrac{2}{5}\pi$は$\sin\dfrac{2}{5}\pi > 0$であることと、前節の結果より、 \begin{align} \sin\frac{2}{5}\pi &= \sqrt{1-\cos^2\frac{2}{5}\pi} \nonumber \cr &= \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} \nonumber \cr &= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \end{align} となります。$\blacksquare$

まとめ

$\sin\dfrac{\pi}{5}$及び$\cos\dfrac{\pi}{5}$の計算は電卓で計算することがほとんどたっだりすることと、$\sin\dfrac{\pi}{5}$に至っては結果に二重根号が登場しますので、あまりなじみがないかもしれません。

何かの参考にしていただけると幸いです。

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