ロジスティック方程式のような微分方程式を解いてみた。

はじめに

ロジスティック方程式でよく見かけるタイプの微分方程式 $\begin{aligned} (1) & \frac{d x}{d t} & = α x - β x^{2} \end{aligned}$ ( $α, β > 0$ ) を解いてみることにします。

とりあえず、サクサク解きます。

( $1$ )式の右辺をちょっと変形して、 $x$ と $β$ を括り出すと… $\begin{aligned} (2) & \frac{d x}{d t} & = β (\frac{α}{β} - x) x \end{aligned}$ として、( $2$ )式の両辺を $(x - \frac{α}{β}) x$ で割ると、右辺が $- β$ になることに注意しつつ… $\begin{aligned} (3) & \frac{1}{(x - \frac{α}{β}) x} \frac{d x}{d t} & = - β \end{aligned}$ と変形できます。

次に、任意の $x \in R$ について、 $\begin{aligned} (4) & \frac{a}{x - \frac{α}{β}} + \frac{b}{x} & = \frac{1}{(x - \frac{α}{β}) x} \end{aligned}$ を満たす $a, b$ を求めてみます。( $4$ )式の両辺に $(x - \frac{α}{β}) x$ をかけると… $\begin{aligned} (5) & a x + b (x - \frac{α}{β}) & = 1 \end{aligned}$ さらに $x$ について整理して… $\begin{aligned} (6) & (a + b) x - b \frac{α}{β} & = 1 \end{aligned}$ となります。

任意の $x \in R$ について( $4$ )式を成立させるためには、 $a = - b, - b \frac{α}{β} - 1 = 0$ でなければならないので、 $\begin{aligned} (7) & b & = - \frac{β}{α} \\ (8) & a & = - b = \frac{β}{α} \end{aligned}$ になります。( $7$ ),( $8$ )式を( $3$ )式に代入すると… $\begin{aligned} (9) & (\frac{β}{α} \cdot \frac{1}{x - \frac{α}{β}} - \frac{β}{α} \cdot \frac{1}{x}) \frac{d x}{d t} & = - β \end{aligned}$ ( $9$ )式の両辺に $\frac{α}{β}$ をかけると… $\begin{aligned} (10) & (\frac{1}{x - \frac{α}{β}} - \frac{1}{x}) \frac{d x}{d t} & = - α \end{aligned}$ ( $10$ )式の両辺の不定積分を取ると… $\begin{aligned} (11) & \log | x - \frac{α}{β} | - \log | x | & = - α t + C \end{aligned}$ ( $C$ は積分定数)となりますが、左辺をちょいと整理して、 $\begin{aligned} (12) & \log | 1 - \frac{α}{β x} | & = - α t + C \end{aligned}$ ( $12$ )式の自然対数を取りつつ絶対値記号を外し、 $\pm e^{C}$ を新たな定数 $C$ と置きなおすと… $\begin{aligned} 1 - \frac{α}{β x} & = \pm e^{- α t + C} \\ (13) & = C e^{- α t} \end{aligned}$ ( $13$ )式を $x$ について解くと… $\begin{aligned} (14) & x & = \frac{α}{β} \cdot \frac{1}{1 - C e^{- α t}} \end{aligned}$ となります。 $◼$

よく見かける式への変形。

( $1$ )式で $α = r, β = \frac{r}{K}$ と置くとWikipediaとかに載っているロジスティック方程式になります。

( $14$ )式に $α = r, β = \frac{r}{K}$ を代入し、本節に限り $x$ を( $x$ が $t$ の関数であることを明確にするために) $x (t)$ と書くことにすると… $\begin{aligned} x (t) & = r \cdot \frac{K}{r} \cdot \frac{1}{1 - C e^{- r t}} \\ (15) & = K \cdot \frac{1}{1 - C e^{- r t}} \end{aligned}$ となります。

ここで、 $t = t_{0}$ のときに $x (t_{0}) = N_{0}$ であるとすると… $\begin{aligned} x (t_{0}) & = K \cdot \frac{1}{1 - C e^{- r t_{0}}} \\ (16) & = N_{0} \end{aligned}$ となります。( $16$ )式は $C$ について解くことができて… $\begin{aligned} (17) & C & = (1 - \frac{K}{N_{0}}) e^{r t_{0}} \end{aligned}$ となります。

( $17$ )式を( $15$ )式に代入して、ちょっと整理すると… $\begin{aligned} x (t) & = \frac{K}{1 - (1 - \frac{K}{N_{0}}) e^{- r (t - t_{0})}} \\ (18) & = \frac{K}{1 + (\frac{K}{N_{0}} - 1) e^{- r (t - t_{0})}} \end{aligned}$ となります。

( $18$ )式に $t_{0} = 0$ を代入するとWikipediaに記述されている式になります。

別解。

なお、( $2$ )式の両辺を $(\frac{α}{β} - x) x$ で割ると… $\begin{aligned} (19) & \frac{1}{(\frac{α}{β} - x) x} \frac{d x}{d t} & = β \end{aligned}$ と変形できます。すると(途中の計算は省略しますが…)、 $\begin{aligned} (20) & \frac{1}{(\frac{α}{β} - x) x} \frac{d x}{d t} & = \frac{β}{α} (\frac{1}{\frac{α}{β} - x} + \frac{1}{x}) \end{aligned}$ となりますので、( $20$ )式を( $19$ )式に代入して両辺に $\frac{α}{β}$ をかけると… $\begin{aligned} (21) & (\frac{1}{\frac{α}{β} - x} + \frac{1}{x}) \frac{d x}{d t} & = α \end{aligned}$ ( $21$ )式の両辺を積分すると、積分定数を $C$ として、 $\begin{aligned} (22) & \log | x | - \log | \frac{α}{β} - x | & = α t + C \end{aligned}$ 両辺の自然対数を取りつつ絶対値記号を外し、 $\pm e^{C}$ を $C$ と置きなおして、 $\begin{aligned} (23) & \frac{x}{\frac{α}{β} - x} & = C e^{α t} \end{aligned}$ ( $23$ )式を $x$ について解くと… $\begin{aligned} (24) & x & = \frac{α}{β} \cdot \frac{C e^{α t}}{1 + C e^{α t}} \end{aligned}$ となります。

( $24$ )式と( $14$ )式は一見異なる式のように見えますが、( $24$ )式の右辺の分子と分母を $C e^{α t}$ で割ると… $\begin{aligned} (25) & x & = \frac{α}{β} \cdot \frac{1}{\frac{1}{C} e^{- α t} + 1} \end{aligned}$ と変形できます。

( $25$ )式と( $14$ )式はまだ相違があるようにも見えますが、( $25$ )式の $t$ は $C$ に依存しない定数であるので、 $- \frac{1}{C}$ を $C$ と置き直すことで( $14$ )式と形式的に一致させることができます。 $◼$

まとめ

積分定数のとり方で一見違った形式の解になりますが、同じ解を表していることが確認できました。

初期条件を与えると同じ式になると思います(たぶん)。😎

この記事は以上です。

リンク

panda大学習帳外伝

冬のゆずみそ祭。

ロジスティック方程式のような微分方程式を解いてみた。

はじめに

とりあえず、サクサク解きます。

よく見かける式への変形。

別解。

まとめ

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