panda大学習帳外伝

勝利の方程式の解き方。

ベータ関数の積分表示の変数変換(あまりメジャーじゃない方)

最終更新日: Sat Dec 9 15:09:25 2023 +0900

はじめに

ベータ関数の積分表示 \begin{align} B(x,y) &= \int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \label{eq:betaxy} \end{align} (${\rm Re}\, x, {\rm Re}\, y \gt 0$)が \begin{align} B(x,y) &= \int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt \label{eq:betatargetx} \cr B(x,y) &= \int_{0}^{\infty}\frac{t^{y-1}}{(1+t)^{x+y}}dt \label{eq:betatargety} \end{align} と書けることを示したいと思います。

最初にちょっと寄り道

最初に$B(x,y) = B(y,x)$であることを確認しておきます。

(\ref{eq:betaxy})式で$u = 1-t$とおくと、$t = 0$のとき$u = 1$で、$t = 1$のとき$u = 0$、さらに$du = -dt$となるため、

\begin{align} B(x,y) &= \int_{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}(-du)\nonumber\cr &= \int_{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}du\nonumber\cr &= \int_{0}^{1}u^{y-1}(1-u)^{x-1}du \label{eq:betadu} \end{align} (\ref{eq:betadu})式の$u$は積分変数ですので、$t$と書き換えて、 \begin{align} B(x,y) &= \int_{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}du\nonumber\cr &= B(y,x) \label{eq:betayx} \end{align} であることがわかります。$\blacksquare$

本題

ここからが本題です。

\begin{align} u &= \frac{1}{t}-1\label{eq:utott} \end{align} とおいて、(\ref{eq:betayx})式に代入することを考えます。

(\ref{eq:utott}))式より$t = \displaystyle\frac{1}{1+u}$と表すことができます。

また、$t = 0$のとき$u = \infty$で、$t = 1$のとき$u = 0$、さらに、$du = -\displaystyle\frac{1}{t^2}dt$となります。

したがって、(\ref{eq:betayx})式は、

\begin{align} B(x,y) &= \int_{\infty}^{0}\frac{1}{(1+u)^{y-1}}\cdot\left(\frac{u}{u+1}\right)^{x-1}\cdot\frac{-1}{(1+u)^2}du\nonumber\cr &= \int_{0}^{\infty}\frac{u^{x-1}}{(1+u)^{y-1+x-1+2}}du\nonumber\cr &= \int_{0}^{\infty}\frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}du \label{eq:betauxy} \end{align}

(\ref{eq:betauxy})式の$u$は積分変数ですので、これを$t$と書き換えて、

\begin{align} B(x,y) &= \int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt \label{eq:betatxy} \end{align}

と表すことができますし、(\ref{eq:betayx})式より、

\begin{align} B(x,y) &= \int_{0}^{\infty}\frac{t^{y-1}}{(1+t)^{x+y}}dt \label{eq:betatyx} \end{align}

と表すこともできます。

(\ref{eq:betatxy})式と(\ref{eq:betatyx})式は(\ref{eq:betatargetx})式及び(\ref{eq:betatargety})式とそれぞれ一致します。$\blacksquare$

まとめ

どこかに載っていそうで載っていなかった変数変換だったので、メモ書きしておくことにしました。

何かのお役に立てば幸いです。

この記事は以上です。

リンク