ζ(2)及びζ(4)の計算結果を使ってζ(6)を計算してみた。

最終更新日: Sat Oct 14 23:27:31 2023 +0900

はじめに

こちらのページの動作確認を兼ねて、$\zeta(6)$の計算を書いていたので、まとめることにしました。

サクサク計算。

$\zeta(4)$を計算した時と同様に、$\zeta(6)$もフーリエ変換を使って求めます。

まず、 \begin{align} f_3(x) &= x^6 \label{eq:fthreex} \end{align} とします。

(\ref{eq:fthreex})式をフーリエ展開すると、(\ref{eq:fthreex})式は偶関数であることから、

\begin{align} f_3(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx \label{eq:fourier} \end{align}

ただし、 \begin{align} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f_3(t)\cos nt\,dt \nonumber\cr &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^6\cos nt\,dt \label{eq:coefficientan} \end{align} となりますので、最初に(\ref{eq:coefficientan})式の右辺を計算します。

$\zeta(4)$の計算の途中で得られる結果を利用する。

$n \ge 1$ の時は、(\ref{eq:coefficientan})式の右辺を部分積分を使って計算します。 \begin{align} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{-\pi}t^6\cos nt \,dt \nonumber\cr &= \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{-\pi}t^6\left(\frac{1}{n}\sin nt\right)^{\prime}\,dt \nonumber\cr &= \frac{1}{n\pi}\left(\left[t^6\sin nt\right]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}6t^5\sin nt\,dt\right) \nonumber\cr &= \frac{1}{n\pi}\left(-\int_{-\pi}^{\pi}6t^5\sin nt\,dt\right) \nonumber\cr &= \frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}6t^5\left(\frac{1}{n}\cos nt\right)^{\prime}dt \nonumber\cr &= \frac{1}{n^2\pi}\left([6t^5\cos nt]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}30t^4\cos nt\,dt\right) \nonumber\cr &= \frac{1}{n^2\pi}\left(12\pi^5\cdot(-1)^n-30\int_{-\pi}^{\pi}t^4\cos nt\,dt\right) \label{eq:partialintegral} \end{align} ここで、$\zeta(4)$を計算した時の途中で現れる式の計算結果を使うことができて、 \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}t^4\cos nt\,dt &= \frac{(-1)^n\pi}{n^2}\left(8\pi^2-\frac{48}{n^2}\right) \label{zetafour} \end{align} であるので、(\ref{zetafour})式を(\ref{eq:partialintegral})式に代入します。

すると… \begin{align} a_n &= \frac{1}{n^2\pi}\left[12\pi^5\cdot(-1)^n-30\frac{(-1)^n\pi}{n^2}\left(8\pi^2-\frac{48}{n^2}\right)\right]\nonumber\cr &= \frac{(-1)^n}{n^2}\left[12\pi^4-\frac{30}{n^2}\left(8\pi^2-\frac{48}{n^2}\right)\right]\nonumber\cr &= \frac{(-1)^n}{n^2}\left[12\pi^4-\frac{1}{n^2}\left(240\pi^2-\frac{1440}{n^2}\right)\right]\nonumber\cr &= \frac{(-1)^n}{n^2}\left(12\pi^4-\frac{240\pi^2}{n^2}+\frac{1440}{n^4}\right)\label{eq:secondform} \end{align} と計算できます。

また、 \begin{align} a_0 &= \frac{2}{7}\pi^6 \label{eq:coefficientatzero} \end{align} であるので、(\ref{eq:secondform})式とまとめると、 \begin{align} f_3(x) &= \frac{1}{7}\pi^6 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n^2}\left(12\pi^4-\frac{240\pi^2}{n^2}+\frac{1440}{n^4}\right)\right]\cos nx \label{eq:thirdform} \end{align}

$\zeta(2)$及び$\zeta(4)$の値を利用して計算する。

$x = \pi$とおくと、 \begin{align} f_3(\pi) &= \frac{1}{7}\pi^6 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n}{n^2}\left(12\pi^4-\frac{240\pi^2}{n^2}+\frac{1440}{n^4}\right)\right] (-1)^n\nonumber\cr &= \frac{1}{7}\pi^6 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^2}\left(12\pi^4-\frac{240\pi^2}{n^2}+\frac{1440}{n^4}\right)\right]\nonumber\cr &= \frac{1}{7}\pi^6 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{12\pi^4}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{240\pi^2}{n^4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1440}{n^6}\nonumber\cr &= \frac{1}{7}\pi^6 + 12\pi^4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-240\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1440}{n^6}\nonumber\cr &= \frac{1}{7}\pi^6 + 2\pi^6-\frac{8}{3}\pi^6+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1440}{n^6} \label{eq:fourthform} \end{align} と計算できることと、$f_3(\pi) = \pi^6$であることから、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1440}{n^6} &= \pi^6 - \frac{1}{7}\pi^6 - 2\pi^6+\frac{8}{3}\pi^6\nonumber\cr &= \frac{32}{21}\pi^6 \label{eq:fifthform} \end{align} と計算できます。

(\ref{eq:fifthform})式の両辺を1440で割ると、 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}&= \frac{32}{21\cdot 1440}\pi^6\nonumber\cr &= \frac{\pi^6}{945} \end{align} よって、$\zeta(6) = \dfrac{\pi^6}{945}$であることがわかる。$\blacksquare$

まとめ

ここまでの計算で、$\zeta(4)$の計算の途中結果並びに、$\zeta(2)$及び$\zeta(4)$の計算結果を使って$\zeta(6)$を計算することができました。

この調子で$\zeta(2n-2)$の計算の途中結果と$\zeta(2), \zeta(4), \cdots \zeta(2n-2)$を使って$\zeta(2n)$の計算結果ができそうですが、この記事ではここまでにしておきます。

この記事は以上です。

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$\zeta(2)$及び$\zeta(4)$の値を利用して計算する。

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