panda大学習帳外伝

勝利の方程式の解き方。

1/(x^3+a^3)を部分分数展開してみた。

前置き。

この記事の不定積分を求める途中で、

\begin{align} f(x) = \frac{1}{x^3+a^3} \label{eq:x3a3inv} \end{align}

を部分分数展開することが必要となりますが、この記事ではその詳細な方法について書きます。

サクサクと計算。

まず、以下のように置きます。 \begin{align} \frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{\alpha}{x+a}+\frac{\beta x+\gamma}{x^2-ax+a^2} \label{eq:x3a3decompositefirst} \end{align} 次に、(\ref{eq:x3a3decompositefirst})式の右辺を展開します。

すると… \begin{align} \frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{\alpha}{x+a}+\frac{\beta x+\gamma}{x^2-ax+a^2} \nonumber\cr &= \frac{\alpha(x^2-ax+a^2)+(x+a)(\beta x+\gamma)}{x^3+a^3} \nonumber\cr &= \frac{\alpha x^2-\alpha ax+\alpha a^2 + \beta x^2+(\beta a+ \gamma)x+a\gamma}{x^3+a^3} \label{eq:x3a3decompositesecond} \end{align} となります。

したがって、 \begin{align} \alpha + \beta &= 0 \label{eq:alphabeta} \cr -a\alpha + a\beta + \gamma &= 0 \label{eq:abg} \cr a^2\alpha + a\gamma &= 1 \label{eq:agone} \end{align} (\ref{eq:alphabeta})式より$\beta = -\alpha$なので、これを(\ref{eq:abg})式に代入すると、 \begin{align} \gamma &= 2a\alpha \label{eq:ag} \end{align} となります。さらに、これを(\ref{eq:agone})式に代入して$\gamma$を消去すると、$3a^2\alpha = 1$となりますので、 \begin{align} \alpha &= \frac{1}{3a^2} \label{eq:alpha} \end{align} となります。

(\ref{eq:alpha})式を(\ref{eq:alphabeta})式に代入すると、 \begin{align} \beta &= -\frac{1}{3a^2} \label{eq:beta} \end{align} また、(\ref{eq:ag})式に代入すると、 \begin{align} \gamma &= \frac{2}{3a} \label{eq:gamma} \end{align} となります。

(\ref{eq:alpha}),(\ref{eq:beta})及び(\ref{eq:gamma})の各式を(\ref{eq:x3a3decompositefirst})式に代入すると、

\begin{align} \frac{1}{x^3+a^3} &= \frac{1}{3a^2}\left( \frac{1}{x+a} - \frac{x-2a}{x^2-ax+a^2}\right) \label{eq:pfdfirst} \end{align}

が得られます。$\blacksquare$

まとめ

不定積分の際には部分分数分解を行うことが割と多いと思いますが、これはこれで部分分数分解の計算例として扱った方が良さそうだと考えたので、不定積分の記事とは別記事とすることとしました。

この記事は以上です。

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